(引用 大树下:第一题你是对的第二题错了。弹簧每个点的速度不一样的，小虫只是相对当时所在速度为1cm/s（注意，不是1m/s).)小虫匀加速？加速度是0.01？那就是５１？[shwan (6-20 13:29, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]21楼
(引用 大树下:speed converge to v1+v2It can be proved (you can check my answers in "第二题：条件足够了").
Ok, I get your meaning. You are tr...)actuallyif i assume it will never reach, i can choose the upper limit of speed series as :
0.01,
0.01+0.01/1,
0.01 + (0.01 + 0.01 / 1 ) / 2,
0.01 + ( 0.01 + (0.01 + 0.01 / 1 ) / 2 ) / 3,
...
......
0.01 + ( 0.01 + ( 0.01 + ... + 0.01/1)/2/3 ... ) / n
if i assume it will reach, i can choose the lower limit of speed series as :
0.01,
0.01+0.01/2,
0.01 + (0.01 + 0.01 / 3 ) / 3,
0.01 + ( 0.01 + (0.01 + 0.01 / 2 ) / 3 ) / 4,
...
......
0.01 + ( 0.01 + ( 0.01 + ... + 0.01/2)/3/4 ... ) / n+1[1300cc (6-21 3:28, Long long ago)]
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sForum ][登录后回复]22楼
(引用 大树下:speed converge to v1+v2It can be proved (you can check my answers in "第二题：条件足够了").
Ok, I get your meaning. You are tr...)i solve the integration wronglyused solver, it didn't find another root at e^43.
so yes. finally it catched up .
but my data series method should also work[1300cc (6-21 3:49, Long long ago)]
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sForum ][登录后回复]23楼
(引用 shwan:第一题，正方形的话爬了1米，正三角形的话是2/3第二题，我在想，既然小虫相对弹簧的速度恒定是1，是不是时间就是1，距离就是2呢？)cant figure out q1.
hint?[1300cc (6-21 3:50, Long long ago)]
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sForum ][登录后回复]24楼
so any hint to Q1?[1300cc (6-25 0:14, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]25楼
(引用 1300cc:so any hint to Q1?)fianlly got it. only A contribute to the progress between A,B.it's tricky.[1300cc (7-17 2:07, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]26楼
我的解法-第一题好久没来了，这段时间太忙了。。。
因为小虫匀速爬行，所以这个问题等效于它们相遇时爬了多少时间。
对正n边形来说，任意两边的夹角为PIx(n-2)/n.
假设每只小虫的速度为v。
方法一：
我们从这n边形的边长上考虑。
初始边长：1
最终边长：0
所有只需要知道小虫在任一边所在方向上的相对速度就可以解决这个问题了。
对AB两只小虫组成边：
小虫A方向为B，所以A在AB边上的速度为v。小虫B方向为C，所以B在AB边上的速度为v x cos（PIx(n-2)/n）
它们的相对速度为 v + v x cos（PIx(n-2)/n）
所以时间t = 1/(v + v x cos（PIx(n-2)/n）)
爬行的距离 s = vt = 1/(1+cos（PIx(n-2)/n）)。当n为4时，s=1；n为3时，s=2/3等等
方法二：
对任意的n只小虫，因为每只小虫都爬向它的目标，所以任意时刻这n只小虫组成的n边形都比前一时刻组成的n边形小，直到收缩为一点，根据对称性原则，可以知道，这一点为n边形外接圆的圆心（或内切圆的圆心，它们在同一点）。
我们从任一小虫到圆心的长度上考虑。任一小虫的爬行方向跟其与圆心连线的角度固定，一直为两边夹角的一半，即PIx(n-2)/2n。
初始长度：0.5/cos（PIx(n-2)/2n）
最终长度：0
速度：小虫在其与圆心连线上的速度为 v x cos（PIx(n-2)/2n）
所以 时间 t=0.5/cos（PIx(n-2)/2n）/ (v x cos（PIx(n-2)/2n）)=1/v(1 + cos（PIx(n-2)/n）)
爬行的距离 s = vt = 1/(1+cos（PIx(n-2)/n）)
[大树下 (7-21 11:53, Long long ago)]
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sForum ][登录后回复]27楼
我的解法-第二题方法一：
请参照http://v15.huasing.org/wap/xbbs.php?B=116_11039552。
先求解小虫在时刻t里弹簧左端的距离s(t)
需要解微积分方程：ds/dt = v1 + s / (L/v2 + t) ---- (1)
我们先看方程ds/dt = s/(L/v2+t) ---- (2)
=> 1/s ds = 1/(L/v2+t) dt => s=k1(L/v2+t), k1为任意常数
方程(1)的解为 s=(f(t)+k1)(L/v2+t), 其中f(t)某待求解的t的函数。代入(1)，得 df/dt = v1/(L/v2+t)
=> f(t) = v1 * ln((L/v2+t)/k2) => s(t) = (v1 * ln((L/v2+t)/k2)+k1)(L/v2+t) ---- (3)
因为 s(0)=0，我们可以简化(3)为 s(t) = ln(1+tv2/L)v1(L/v2+t)
时刻t弹簧的长度L_(t) = L + v2 * t
相遇的时候L_(t) = s(t), 可得 t=L/v2 * (e^(v2/v1)-1)
所以相遇时弹簧的长度L_=L*e^(v2/v1)，一个挺漂亮的数字，对本题来说L_=e^100
方法二：
换个角度，我们定义长度L__(t)为时刻t小虫离弹簧左端的长度占弹簧此时长度的比例，相应的，v_(t)为时刻t小虫每秒爬过的弹簧比例。
那么v_(t) = v1/L_(t)=v1/(L+v2*t)
因为dL__/dt = v_(t)，可得，L__(t) = v1/v2 * ln((L/v2+t)/k)，k为任意常数
因为L__(0)=0，所以 L__(t) = v1/v2 * ln(1+tv2/L)
相遇的时候L__(t)=1 => t=L/v2 * (e^(v2/v1)-1)
所以相遇时弹簧的长度L_=L*e^(v2/v1)
[大树下 (7-21 13:36, Long long ago)]
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sForum ][登录后回复]28楼
(引用 大树下:老兄你在乱猜是吧1D里面没有曲线。)the trajectory of each worm should be a whirling line. (my guess)only A contribute to reducing distance between A,B.
so timeToMeet = 1/1 = 1 = 1/2 + 1/2 > PI/4.
hence the traveling trajectory sure break out the northwest cubicle of the big cube.
only a whirling curve meet that condition.[1300cc (7-22 2:40, Long long ago)]
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