|
|
|
|
|
|
|
复制本帖HTML代码
|
|
高亮:
今天贴
X 昨天贴
X 前天贴
X |
方法一：
请参照http://v15.huasing.org/bbs.php?B=116_11039552。
先求解小虫在时刻t里弹簧左端的距离s(t)
需要解微积分方程：ds/dt = v1 + s / (L/v2 + t) ---- (1)
我们先看方程ds/dt = s/(L/v2+t) ---- (2)
=> 1/s ds = 1/(L/v2+t) dt => s=k1(L/v2+t), k1为任意常数
方程(1)的解为 s=(f(t)+k1)(L/v2+t), 其中f(t)某待求解的t的函数。代入(1)，得 df/dt = v1/(L/v2+t)
=> f(t) = v1 * ln((L/v2+t)/k2) => s(t) = (v1 * ln((L/v2+t)/k2)+k1)(L/v2+t) ---- (3)
因为 s(0)=0，我们可以简化(3)为 s(t) = ln(1+tv2/L)v1(L/v2+t)
时刻t弹簧的长度L_(t) = L + v2 * t
相遇的时候L_(t) = s(t), 可得 t=L/v2 * (e^(v2/v1)-1)
所以相遇时弹簧的长度L_=L*e^(v2/v1)，一个挺漂亮的数字，对本题来说L_=e^100
方法二：
换个角度，我们定义长度L__(t)为时刻t小虫离弹簧左端的长度占弹簧此时长度的比例，相应的，v_(t)为时刻t小虫每秒爬过的弹簧比例。
那么v_(t) = v1/L_(t)=v1/(L+v2*t)
因为dL__/dt = v_(t)，可得，L__(t) = v1/v2 * ln((L/v2+t)/k)，k为任意常数
因为L__(0)=0，所以 L__(t) = v1/v2 * ln(1+tv2/L)
相遇的时候L__(t)=1 => t=L/v2 * (e^(v2/v1)-1)
所以相遇时弹簧的长度L_=L*e^(v2/v1)
.
|
| 欢迎来到华新中文网，踊跃发帖是支持我们的最好方法! |
|
|
－
－
－