可以这么解释
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作者:大树下 (等级:3 - 略知一二,发帖:26) 发表:2008-05-09 19:11:39  楼主  关注此帖评分:
我那个公式是用递推式得出来的,但是我还不知道怎么解释这个公式你看啊 f(n,m) = 2^n - \sum_{k=0}^{n-m-1}{n \choose k} = \sum_{k=n-m}^{n}{n \choose k} = \sum_{k=0}^{m}{n \choose k} 就是说这个值是杨辉三角的第n行(尖尖为第0行)前m+1项的和 n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 比方说m=2的情况,我们只需把每一行的前3项相加,就是f(n,2)了 我还在想这个怎么解释,不过我初步的想法应该跟每个partition的边数有关
可以这么解释
m维空间被切n次得到的段数 = m维空间被切n-1次得到的段数 + 第n刀增加的段数

假设m维空间被切n-1次得到的段数为A,即被分成了A个m维空间。假设第n个刀片被起先的n-1刀分成k段,有k个m-1维小刀片,每个小刀片完全被包容于与A个空间中的其中一个空间,而且把它分成两半,所以总共增加了k段。

所以 f(n, m) = A + k.

很显然 A = f(n-1, m)

k = 第n个刀片(m-1维)被切n-1刀得到的段数 = f(n-1, m-1)

得证。
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作者:大树下 (等级:3 - 略知一二,发帖:26) 发表:2008-05-12 12:02:50  2楼
恩,我是问怎么解释这个数刚好是杨辉三角前m+1项的和
...
你认为这两个之间有hidden connection?

我觉得只是巧合。因为杨辉三角第n行前m项的和也符合这个式子S(n,m)=S(n-1,m)+S(n-1,m-1),根据杨辉三角的性质【杨辉三角第n行第m项Y(n,m)=Y(n-1,m)+Y(n-1,m-1)】很容易推导出来的。

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