1. 一个边长为1的正方形，四个顶点有四只小虫ABCD。同一时刻小虫以同样的速度开始爬动。A的目标是B，B的目标是C，C的目标是D，D的目标是A。问四只小虫相遇时它们爬行的距离是多远。如果是正三角形呢，正五边形呢？一般的正n边形呢（边长为1）？

2. 一条长为L=1m的弹簧，一只小虫位于弹簧的一端，小虫以v1=1cm/s的速度向弹簧另一端爬，同时弹簧以v2=1m/s的速度拉伸，问小虫能否爬到弹簧的另一端，如果能，这个时候弹簧有多长？（注：小虫的长度为0，不老不死，上题也是，弹簧可以无限拉伸）

实际上，对一般的正n边形来说，根据对称性原则，在任意时刻t，这n只虫子还是构成一个正n边形，而且是比任何前一时刻构成的正n边形小。缩小的速度是可以求出来的。

或者我应该制定的更严谨点：

一条长为L=1m的弹簧，一只小虫位于弹簧的左端端，小虫以v1=1cm/s的速度向弹簧右端爬，同时弹簧以v2=1m/s的速度向右拉伸（左端固定），问小虫能否爬到弹簧的又端，如果能，这个时候弹簧有多长？（注：小虫的长度为0，不老不死，上题也是，弹簧可以无限拉伸）


解答：


在时刻t，弹簧的长度为： L_ = L + v2 * t

弹簧上不同点的伸缩速度不一样，对某一个离弹簧左端距离为s的点来说，该点的伸缩速度为: v_ = (s / L_) * v2.

小虫的速度为v1，这是相对它当时所在的弹簧的那个点来说。所以，相对地面，小虫的速度为： v = v1 + v_。v_为当时小虫所在点的伸缩速度。

假设此时小虫离弹簧左端距离为s。那么相对地面，小虫的速度为

v = v1 + (s / (L + v2 * t)) * v2

其中s为v对时间的积分，或者说v是s对时间的微分： v = ds/dt.

即：

ds/dt = v1 + s / (L/v2 + t)

这是一个经典的微积分方程，稍微复杂了点，不过相信对很多同学来说没什么难度。求出s之后，让s = L_即可求出t与此时的L_。

实际上，换一个角度，这个问题还有另外一个简单很多的解决方法（不需要解微积分方程），几天后我会公布，兄弟们可以先思考一下。

不知道hash兄当时是用什么方法做的。可以尝试一下换一个角度来做。或许简单很多，也或许会复杂些。

Probably you have misunderstanding in my question.

Apparently, as long as worm speed > 0, the speed of worm relative to ground is increasing at every time instance and approaching the string stretching speed. Since the increasing of worm speed will never stop until reaching string stretching speed, it will definitely catch up after some time.

你应该理解错问题了，第二题是一维的，不知道你的sphere哪来的。

1D里面没有曲线。

It can be proved (you can check my answers in "第二题：条件足够了").

Ok, I get your meaning. You are trying to discretize the problem using time slice of 1 sec, right? You can use this kind of method, although it makes problem unnecessary complex (remember not to fix the time slice, you should calculate the limit when time slice approach 0). I use this approach as well, of course, for computer programming, and the time slice is usually set to sufficiently small value to get accuracy answer.

The cause of the problem is that you set the time slice to 1 sec. During this 1 sec period, the worm moves some not negligible distance already. Using time slice of 1, the worm speed:

.01 * ( 1 + 1/n + 1/n*(n-1) + 1/ n*(n-1)*(n-2) ... )
< .01 * ( 1 + 1/n + 1/n + ... ) = .02

I.e. the method itself poses a problematic constraint on the problem.

Try set the time slice smaller.

第二题错了。弹簧每个点的速度不一样的，小虫只是相对当时所在速度为1cm/s（注意，不是1m/s).

好久没来了，这段时间太忙了。。。

因为小虫匀速爬行，所以这个问题等效于它们相遇时爬了多少时间。


对正n边形来说，任意两边的夹角为PIx(n-2)/n.

假设每只小虫的速度为v。

方法一：

我们从这n边形的边长上考虑。

初始边长：1
最终边长：0

所有只需要知道小虫在任一边所在方向上的相对速度就可以解决这个问题了。

对AB两只小虫组成边：

小虫A方向为B，所以A在AB边上的速度为v。小虫B方向为C，所以B在AB边上的速度为v x cos（PIx(n-2)/n）

它们的相对速度为 v + v x cos（PIx(n-2)/n）

所以时间t = 1/(v + v x cos（PIx(n-2)/n）)

爬行的距离 s = vt = 1/(1+cos（PIx(n-2)/n）)。当n为4时，s=1；n为3时，s=2/3等等

方法二：

对任意的n只小虫，因为每只小虫都爬向它的目标，所以任意时刻这n只小虫组成的n边形都比前一时刻组成的n边形小，直到收缩为一点，根据对称性原则，可以知道，这一点为n边形外接圆的圆心（或内切圆的圆心，它们在同一点）。

我们从任一小虫到圆心的长度上考虑。任一小虫的爬行方向跟其与圆心连线的角度固定，一直为两边夹角的一半，即PIx(n-2)/2n。

初始长度：0.5/cos（PIx(n-2)/2n）
最终长度：0

速度：小虫在其与圆心连线上的速度为 v x cos（PIx(n-2)/2n）

所以 时间 t=0.5/cos（PIx(n-2)/2n）/ (v x cos（PIx(n-2)/2n）)=1/v(1 + cos（PIx(n-2)/n）)

爬行的距离 s = vt = 1/(1+cos（PIx(n-2)/n）)

方法一：

请参照http://v15.huasing.org/sForum/bbs.php?B=116_11039552。

先求解小虫在时刻t里弹簧左端的距离s(t)

需要解微积分方程：ds/dt = v1 + s / (L/v2 + t) ---- (1)

我们先看方程ds/dt = s/(L/v2+t) ---- (2)

=> 1/s ds = 1/(L/v2+t) dt => s=k1(L/v2+t), k1为任意常数

方程(1)的解为 s=(f(t)+k1)(L/v2+t), 其中f(t)某待求解的t的函数。代入(1)，得 df/dt = v1/(L/v2+t)

=> f(t) = v1 * ln((L/v2+t)/k2) => s(t) = (v1 * ln((L/v2+t)/k2)+k1)(L/v2+t) ---- (3)

因为 s(0)=0，我们可以简化(3)为 s(t) = ln(1+tv2/L)v1(L/v2+t)

时刻t弹簧的长度L_(t) = L + v2 * t

相遇的时候L_(t) = s(t), 可得 t=L/v2 * (e^(v2/v1)-1)

所以相遇时弹簧的长度L_=L*e^(v2/v1)，一个挺漂亮的数字，对本题来说L_=e^100


方法二：

换个角度，我们定义长度L__(t)为时刻t小虫离弹簧左端的长度占弹簧此时长度的比例，相应的，v_(t)为时刻t小虫每秒爬过的弹簧比例。

那么v_(t) = v1/L_(t)=v1/(L+v2*t)

因为dL__/dt = v_(t)，可得，L__(t) = v1/v2 * ln((L/v2+t)/k)，k为任意常数

因为L__(0)=0，所以 L__(t) = v1/v2 * ln(1+tv2/L)

相遇的时候L__(t)=1 => t=L/v2 * (e^(v2/v1)-1)

所以相遇时弹簧的长度L_=L*e^(v2/v1)