好像概括一下事情是

房东和租客，没有签合同
租客住了半个月，提出搬家
提出搬家后一个月的时候，因为没有合同约定，对退款金额产生纠纷

虽然没有签合同，但是履行了租赁的事实就是承认了租赁关系吧
房东也没有说他要短租，最多算是没有及时去HDB登记的问题了
所以你们要真上了小额法庭，刚好便宜了URA给他们写short-term rental rules提供活生生的案例了

还是将心比心一下吧，去哪里租房子，可以租半个月就说要搬家的，那房东干脆做full-time agent好了